【不等式公式】在数学中，不等式是表示两个表达式之间大小关系的式子。与等式不同，不等式使用“>”、“<”、“≥”或“≤”符号来表示数值或表达式的相对大小。掌握常见的不等式公式对于解题、分析函数性质以及解决实际问题具有重要意义。
以下是一些常见的不等式公式及其简要说明：
一、基本不等式
| 不等式名称 | 公式 | 说明 | ||||||
| 非负性 | $ a^2 \geq 0 $ | 任意实数的平方非负 | ||||||
| 绝对值不等式 | $ | a + b | \leq | a | + | b | $ | 三角不等式，适用于向量和实数 |
| 倒数不等式 | 若 $ a > 0 $，则 $ \frac{1}{a} > 0 $ | 正数的倒数仍为正数 | ||||||
| 对称性 | 若 $ a < b $，则 $ b > a $ | 不等式具有对称性 |
二、均值不等式（算术-几何平均不等式）
| 不等式名称 | 公式 | 说明 |
| 算术平均 ≥ 几何平均 | $ \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} $ | 当且仅当所有数相等时取等号 |
| 调和平均 ≤ 几何平均 ≤ 算术平均 | $ \frac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}} \leq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \leq \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} $ | 适用于正实数 |
三、柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
| 不等式名称 | 公式 | 说明 |
| 向量形式 | $ (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) $ | 适用于向量内积 |
| 数列形式 | $ (\sum_{i=1}^{n} a_i b_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2) $ | 常用于证明其他不等式 |
四、排序不等式（Reordering Inequality）
| 不等式名称 | 公式 | 说明 |
| 排序不等式 | 设 $ a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \dots \leq b_n $，则有：$ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n \geq a_1 b_{\sigma(1)} + a_2 b_{\sigma(2)} + \dots + a_n b_{\sigma(n)} \geq a_1 b_n + a_2 b_{n-1} + \dots + a_n b_1 $ | 其中 $ \sigma $ 是排列 |
五、其他常见不等式
| 不等式名称 | 公式 | 说明 | ||
| 柯西-施瓦茨不等式 | $ | \sum_{i=1}^{n} a_i b_i | \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} a_i^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} b_i^2} $ | 与柯西不等式类似，但更广泛 |
| 杨不等式 | $ ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} $，其中 $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 $ | 用于积分不等式推导 | ||
| 伯努利不等式 | $ (1 + x)^r \geq 1 + rx $，其中 $ x \geq -1 $，$ r \geq 1 $ | 适用于指数函数近似 |
总结
不等式是数学中的重要工具，广泛应用于代数、几何、微积分和优化等领域。掌握这些基础不等式不仅能帮助我们理解数与数之间的关系，还能提高解题效率。在实际应用中，应结合具体问题选择合适的不等式进行推理和验证，避免盲目套用公式。
通过表格形式总结，可以更清晰地了解各类不等式的适用范围和基本结构，便于记忆和应用。