无限循环小数是有理数吗

无限循环小数是有理数这一论断是数学中的一个基本概念。要理解这一点，首先需要明确有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，即形式为p/q（q≠0）的数，其中p和q都是整数，且q不为零。

无限循环小数是指小数点后存在一组数字无限重复出现的小数，例如0.333...（1/3），0.1666...（1/6）。这类数可以被证明是可以通过分数形式表达的，因此它们属于有理数范畴。

下面通过具体的例子来说明如何将无限循环小数转换成分数形式：

例1: 0.333...

设x = 0.333...

则10x = 3.333...

两式相减得到：

\[10x - x = 3.333... - 0.333...\]

\[9x = 3\]

\[x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

所以，0.333...等同于1/3，是一个有理数。

例2: 0.1666...

设y = 0.1666...

则10y = 1.666...

再设100y = 16.666...

两式相减得到：

\[100y - 10y = 16.666... - 1.666...\]

\[90y = 15\]

\[y = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}\]

所以，0.1666...等同于1/6，也是一个有理数。

这些例子表明，任何无限循环小数都可以被转化为分数形式，从而证明它们是有理数。这一结论不仅在理论上成立，在实际应用中也具有重要意义，因为这使得我们能够用更简洁的方式处理复杂的计算问题。

综上所述，无限循环小数确实是有理数，这一性质使它们在数学分析和实际应用中都占有重要地位。

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